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「Q-Q プロット」って何？
2 つの確率分布の分位数を互いにプロットして，両者がどのくらい類似した確率分布なのかを可視化する手法．
縦軸に調べたい確率分布の分位数，横軸に理論分布の確率密度関数の逆関数をプロットする．分布が類似していれば $y=x$ 的な直前上にプロットされる．
Q-Q プロットの一例:
引用: 【Python】正規分布に従っているかを調べる手法 3 種 | データサイエンス情報局
Q-Q プロットの縦軸，横軸の関係をアニメーションにしたもの:
引用: 【統計学】Q-Q プロットの仕組みをアニメーションで理解する。 - Qiita
やってみる
検証コード全体はコチラ:
Google Colab: https://colab.research.google.com/drive/1wSn2s6tbKpCUa6Gbi7zMsIzWZzTCkT_-?usp=sharing
import:
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| import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import japanize_matplotlib
import scipy.stats as st
from scipy.special import ndtri
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正規分布からランダムサンプリングしたデータが正規分布と類似しているか調べる
縦軸
サンプリングしたデータのヒストグラム:
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| N = 200 # データ件数
MEAN = 10 # 平均
STD = 3 # 標準偏差
data = np.random.normal(loc=MEAN, scale=STD, size=N)
plt.title(f"正規分布からランダムサンプリングしたプロットのヒストグラム\n（平均={MEAN}，標準偏差={STD}）")
plt.xlabel("階級")
plt.ylabel("度数")
plt.hist(data, bins=20)
plt.grid(True)
plt.show()
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データの分位数:
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| sorted_data = np.sort(data)
x = np.linspace(0, 1, N)
plt.figure(figsize=(5, 5))
plt.title("正規分布からランダムサンプリングしたプロットの分位数")
plt.xlabel("分位数")
plt.ylabel("値")
plt.xlim(0, 1)
plt.scatter(x, sorted_data)
plt.grid(True)
plt.show()
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横軸
今回の理論分布は正規分布なので，正規分布の確率密度関数（＝正規累積分布関数）の逆関数を用いる．
正規累積分布:
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| x = np.linspace(-STD, STD, N)
y_cdf = st.norm.cdf(x)
plt.figure(figsize=(5, 5))
plt.title(f"正規累積分布関数\n（定義域=[{-STD}, {STD}]）")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.scatter(x, y_cdf)
plt.grid(True)
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正規累積分布関数の逆関数:
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| x = np.linspace(0, 1, N)
inv_norm = ndtri(x)
plt.figure(figsize=(5, 5))
plt.title(f"正規累積分布関数の逆関数\n（定義域=[{0}, {1}]）")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.scatter(x, inv_norm)
plt.grid(True)
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Q-Q プロット
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| plt.figure(figsize=(5, 5))
plt.title(f"Q-Qプロット")
plt.xlabel("理論分布")
plt.ylabel("対象データの分布")
plt.scatter(inv_norm, sorted_data)
plt.grid(True)
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グラフが一直線になっていることが分かり，対象データの確率分布が正規分布に類似していることが確認できた．
個人的な理解
- 同じ分布なら，ソートして分位数で可視化したときの分布も同じはず
- その場合，同じデータを x 軸，y 軸両方にプロットするのと同じなので，そのプロットは $y=x$ 的な感じになる
- 理論分布の分位数プロットは累積確率関数が使える
- 「なら，理論分布の関数から分位数プロット生成してもいけるのでは？」と思ってやってみたけど，Q-Q プロット生成時の逆関数値が分からなくて詰んだ…
実用
SciPy の stats.probplot() を使えば簡単に Q-Q プロットを作成できる．
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| fig = plt.subplots(figsize=(5, 5))
st.probplot(sorted_data, dist="norm", plot=plt)
plt.show()
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参考記事